数列前n项和公式推导

　　等比数列是数学中一个重要的知识点，那么你知道等比数列的求和公式及其推导过程吗?下面是由留学群编辑为大家整理的“等比数列前n项和公式推导过程(实用)”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　等比数列前n项和公式

　　公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。

　　等比数列前n项和公式推导过程

　　等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

　　推导如下：

　　因为an=a1q^(n-1)

　　所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

　　qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

　　(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

　　把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

　　把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

　　以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

　　(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

　　于是得到

　　(1-q)Sn=a1(1-q^n)

　　即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

　　拓展阅读：等比数列的性质

　　①在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)，则am⋅an=ap⋅aq=a2kam⋅an=ap⋅aq=ak2；

　　②若数列{an}{an}，{bn}{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0)，{1an}{1an}，{a2n}{an2}，{an⋅bn}{an⋅bn}，{anbn}{anbn}仍然是等比数列;

　　③在等比数列{an}{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，⋯an，an+k，an+2k，an+3k，⋯为等比数列，公比为qkqk;

　　④q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项，S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2，S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2，则S偶S奇=qS偶S奇=q;

　　⑤等比数列的单调性，取决于两个参数a1a1和qq的取值，an=a1⋅qn−1an=a1⋅qn−1。

　　等差数列是数学中一个很重要的知识点，也是一个十分常见的考点。下面是由留学群编辑为大家整理的“等差数列前n项和公式推导”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　等差数列求和公式

推导过程

　　(1)从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

　　(2)从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。

　　(3)若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)。