二次函数

　　留学群相关栏目推荐：“二次函数教案”。

　　俗话说，磨刀不误砍柴工。作为教师编写教案是一种很重要的能力。教案需要具体规定传授基础知识。如何让教案在课堂中合理的发挥？编辑陆续为大家整理了二次函数教案，仅供参考,欢迎大家阅读本文。

二次函数教案 篇1

　　一、教材分析：

　　《34.4二次函数的应用》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》(冀教版)九年级上册第三十四章第四节，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象及性质的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会;从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。

　　本节教学时间安排1课时

　　二、教学目标：

　　知识技能：

　　1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

　　2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.

　　3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

　　数学思考：

　　1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神.

　　2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.

　　3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。

　　解决问题：

　　1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

　　2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。

　　情感态度：

　　1.从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。

　　2.通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。

　　三、教学重点、难点：

　　教学重点：

　　1.体会方程与函数之间的联系。

　　2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

　　教学难点：

　　1.探索方程与函数之间关系的过程。

　　2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

　　四、教学方法：启发引导 合作交流

　　五：教具、学具：课件

　　六、...

在备考2026年中考的考生们注意！小编整理出来2026年中考复习数学的二次函数的图像及其性质考点，有需要的来仔细看看吧！下面是留学群整理的“2026年中考复习数学考点：二次函数的图像及其性质”，此文本仅供参考，欢迎阅读。

二次函数的图像及其性质

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　　我们的数学里面是要学习函数的，相信没有几个人会喜欢函数的，因为太复杂了。二次函数顶点坐标公式怎么算，还是让我们留学群的小编来告诉你们吧，大家可要看好了哦。

　　二次函数顶点坐标公式怎么算

　　1、先令二次函数等于零，求出二次函数与x轴的两个交点。

　　2、由二次函数与x轴的交点横坐标可知，二次函数对称轴为直线x=0。

　　3、二次函数顶点的横坐标为对称轴的横坐标，所以求顶点坐标将对称轴坐标代入即可。

　　二次函数的学习要点有哪些

　　1.要理解函数的意义。

　　2.要记住函数的几个表达形式，注意区分。

　　3.一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小(增大)(增减值)等的差异性。

　　4.联系实际对函数图像的理解。

　　5.计算时，看图像时切记取值范围。

　　6.随图像理解数字的变化而变化。 二次函数考点及例题

　　二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

　　二次函数顶点坐标公式怎么算?二次函数的学习要点有哪些?在上面的文章内容里面，我们留学群的小编已经整理好了哦，希望可以帮助到你们哦。

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　　二次函数是数学中重要的一个知识点，学会将数学知识点总结归纳，能够大大提高自己的学习效率。下面是由留学群编辑为大家整理的“初中二次函数重要知识点汇总”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　二次函数的定义

　　一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数。

　　注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;

　　(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;

　　(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;

　　(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数。

　　二次函数y=ax2的图象和性质

　　(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象都是抛物线。

　　二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)。

　　①当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降;在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a>0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而减小;当x>0时，函数y随x的增大而增大;当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0;

　　②当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升;在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点.也就是说，当a<0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而增大;当x>0时，函数y随x的增大而减小;当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0;

　　③当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大。

　　(2)二次函数y=ax2的表达式的确定

　　因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值。

　　抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

　　拓展阅读：数学怎么学

　　第一，掌握好当前正在学习的知识，这就需要保证听课效率。在课前，预习的环节是必不可少的。先将本科知识结构梳理一遍，看不懂没关系，但一定要知道老师这节课要讲些什么。 对数学成绩较差的同学来说，老师讲课听不懂是常有的事，经常出现脑筋转不过弯来的情况。这就更需要上课时全神贯注，紧跟老师的思路，听不懂的地方先标记下，然后继续听课。

　　第二，在平时练习考试的时候将掌握不好的知识点记录下来，并查阅资料及时复习。

　　如果遇到从前所学的知识点就翻阅课本和资料，并及时向他人请教。在理解之后可...

　　函数对于同学们来说一直是个重难点，那么二次函数的相关知识是怎样的呢?下面是由留学群编辑为大家整理的“二次函数解析式怎么算 有哪些方法”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　二次函数解析式形式

　　1.一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)

　　2.顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k(a,h,k为常数，a≠0)

　　3.交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(又叫两点式，两根式等)

　　求二次函数解析式的方法

　　(1)条件为已知抛物线过三个已知点，用一般式：y=ax²+bx+c,分别代入成为一个三元一次方程组，解得a、b、c的值，从而得到解析式。

　　(2)已知顶点坐标及另外一点，用顶点式：y=a(x-h)²+k,点坐标代入后，成为关于a的一元一次方程，得a的值，从而得到解析式。

　　(3)已知抛物线过三个点中，其中两点在X轴上，可用交点式(两根式)：y=a(x-x₁)(x-x₂),第三点坐标代入求a，得抛物线解析式。

　　拓展阅读：二次函数的性质

　　(1)二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

　　(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上;当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小;|a|越小，则抛物线的开口越大。

　　(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧。

　　(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)。

　　二次函数的顶点坐标公式是数学中一个重要的知识点，根据二次函数解析式形式的不同，顶点的计算方法也不同。下面是由留学群编辑为大家整理的“二次函数顶点坐标公式是什么怎么算”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　二次函数顶点坐标公式

　　顶点坐标是用来表示二次函数抛物线顶点的位置的参考指标，顶点式：y=a(x-h)²+k (a≠0，k为常数)顶点坐标：【-b/2a，(4ac-b²)/4a】。

　　顶点坐标

　　1、解析式为y=ax²时，顶点坐标为(0，0)，抛物线关于x=0这条直线对称

　　2、解析式为y=a(x-h)²时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，0)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　3、解析式为y=a(x-h)²+k时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，k)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　4、解析式为y=ax²+bx+c时，这时解析式为二次函数通用式，顶点坐标为(-b/2a，4ac-b²/4a)，抛物线关于x=-b/2a对称

　　拓展阅读：二次函数顶点式的推导过程

　　y=ax^2+bx+c

　　y=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a

　　顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　根据二次函数解析式形式的不同，顶点的计算方法也不同。下面是由留学群编辑为大家整理的“二次函数的顶点坐标怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　二次函数的顶点坐标

　　1、解析式为y=ax²时，顶点坐标为(0，0)，抛物线关于x=0这条直线对称

　　2、解析式为y=a(x-h)²时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，0)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　3、解析式为y=a(x-h)²+k时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，k)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　4、解析式为y=ax²+bx+c时，这时解析式为二次函数通用式，顶点坐标为

　　(-b/2a，4ac-b²/4a)，抛物线关于x=-b/2a对称

　　推导过程

　　y=ax^2+bx+c

　　y=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a

　　顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　二次函数的三种基本形式

　　1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);

　　2、顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k);

　　3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标。

　　二次函数顶点坐标公式的推导过程是什么呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。下面是由留学群小编为大家整理的“二次函数顶点坐标公式的推导过程”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　二次函数顶点坐标公式的推导过程

　　二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)

　　推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　拓展阅读：二次函数的顶点表达式

　　y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) [4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大(小)值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

　　例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

　　解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

　　注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

　　具体可分为下面几种情况：

　　当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到;

　　当h>0时，y=a(x+h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动h个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图像;

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动h个单位，再向下移动k个单位，就可以得到y=a(x+h)²-k的图像;

　　当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像;

　　当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像。