直角三角形内切圆的推广
湖北省云梦县沙河中学 许昌
我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现若有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。
已知：在Rt⊿ABC中，⊙O1 ,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1 切AC、AB于D、E两点，⊙O2 切BC、AB于F、G两点，若AC=4,BC=3，求⊙O1与⊙O
2的半径。
解：连接O1 A, O1 D, O1 E, O1 C, O1 O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1 G,过C作CI⊥AB交AB于I,交O1 O2于J
设⊙O1与⊙O2的半径为r
∵⊙O1 ,⊙O
2两等圆外切于H, ⊙O1 切AC、AB于D、E两点，
⊙O2 切BC、AB于F、G两点
∴O1 D⊥AC , O1 E⊥AB, O2 G⊥AB, O2 F⊥BC
S⊿AO1C=
AC·O
BC·O2F=1.5r
S⊿AO1G+ S⊿O2GB =AG·O1E+GB·O
r(AG+ GB)=2.5r
又∵CI⊥AB交AB于I,交O1 O2于J
∴CJ+ O2G = CJ+JI=CI CI=
=2.4
S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G = O1 O2·CJ+ O1 O2·O2G= O1 O2·CI=2.4r
即S⊿ABC= S
⊿AO1C+ S⊿BO2C+ S⊿AO1G+ S⊿O2GB+ S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G=
=6
8.4r=6 , r=
现推广到一般情况在Rt⊿ABC中∠C=90°，⊙O1 ,⊙O2…⊙On(n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1 切AC、AB,⊙O
n 切BC、AB, 若AC=b,BC=a,求⊙O1 ，⊙O2 ,…⊙On的半径。
解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1 ，⊙O2 ,…⊙On的半径为r
S⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S
4)+ (S5+ S6)
= br+ar+
r+×2(n-1)
r
又∵S⊿ABC =ab
∴r=
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