线性规划课件 篇1
摘 要：高中数学中线性规划的教学和考查充分凸显了代数和几何的结合，在教学中应突出线性规划问题的基本特征和解题规律. 本文选取了近年来相关的优秀试题进行针对剖析，从更高层次、更宽角度审视线性规划的教学地位和思想方法.
关键词：基本问题;平面区域;约束条件;目标函数;双变量;转化化归
线性规划的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务;二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务的完成数最多.
“线性规划”在知识的整合、解题思路的拓展、方法的迁移等方面都有其鲜明的特点，有着丰富的思想内涵. 挖掘题中条件，不失时机地运用“线性规划”的思想方法解题，将使我们观察思考问题的立意更高，视野更加开阔.
在中学教材中，称求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题为线性规划问题. “线性规划”的教学分为三个层次：
(1)二元一次不等式表示的平面区域;
(2)二元一次不等式组表示的平面区域;
(3)线性目标函数在约束条件下的最值.
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.
例如：设实数x，y满足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，则z=2y-x+4的最大值是__________.
上述问题可转化为一个平面区域与一条直线在有公共点的前提下，结合z的几何意义来求解.
具体教学过程中，学生感觉有困难的部分是作图环节，体现在速度慢，不够准确. 如何准确有效地作出所需图形，应给予学生充分的指导、训练和体验. 学生作图时会出现过于细致的问题，如逐步描绘坐标系刻度;又或出现过于轻率的问题，连图形的形状和基本特征都无法抓住.这两个问题都使解题的速度和准确性大打折扣.
当然，线性规划是一个比较深入的课题，教材中也介绍了更多变量的线性规划问题，可引导学生进一步学习.
常规考题考查知识与技能，但还需要学生有一定的转化和化归意识，命题者会在行文叙述、符号变化、算式特征等方面设置一定障碍，需要解题者对得到的信息加工出熟悉的数学模型.
例1 (江苏9题)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界). 若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是__________.
分析：本题以抛物线的切线为背景，以文字叙述的.方式提供了可行区域，题中曲线切线利用导数可得.
解决：求导得y′=2x，切线方程为y=2x-1 ，转化为等价的基本问题：约束条件为x≥0，y≤0，y≥2x-1，目标函数z=x+2y. 作出图形，易知z的取值范围为-2，.
例2 设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是__________.
分析：如何将其化归成基础问题，找到未知问题和基本题之间的桥梁是破解的关键.
那么==，转化为等价问题：约束条件为3≤m≤8，16≤N≤81.目标函数为z=，z几何意义为对应区域内动点与坐标原点连线的斜率，易得最大值为27.
解法二：将除法转变为和或差，题中代数式两边都取以2为底的对数，令log2x=A，log2B=y. 转化为等价问题：约束条件为log23≤A+2B≤3，2≤2A-B≤2log23，目标函数为z=3A-4B，可行区域如图，容易求得z的最大值为3log23，那么=2z的最大值是27.
点评：解法一采用了整体换元，解法二采用了取对数化积为和、化除为差，通过转化和化归转化成已经解决过的基本问题.
熟悉线性规划基本题还远远不够，深刻把握它的数学特点和数学思想，在实际处理问题中将未知问题转化为基本题才更重要. 那么该类问题的基本特点是什么，常见问题是什么?只有清楚这些，我们才能在实际处理过程中及时、敏锐地转化问题，达到解决问题的目的.
以下提供最常见的基本类型;
约束条件：实数x，y满足y≤x，y≥0，2x-y≤2，可行区域如图3.
目标函数(1)：z=3x+y的最大值是__________，z的几何意义即直线y=-3x+z的纵截距;
目标函数(2)：z=的最大值是__________，z的几何意义即可行区域内动点P(x，y)与点(-1，0)所连直线的斜率;
目标函数(3)：z=的最大值是__________，z的几何意义即可行区域内动点P(x，y)与点(0，1)之间的距离.
与线性规划相关的问题普遍具有一些基本特征，主要表现为已知条件是含“双变量”的不等关系，目标任务为代数式的最值或取值范围问题. 可解决的目标函数也不一定是线性代数式，可以为其他类型.常见的可以为乘积或比值形式、二次或根式形式，甚至可以用向量等给出的代数式. 也不一定拘泥于目标函数的最值问题，也可成为以可行区域为背景的面积、向量、概率等问题.
我们可以将它的数学思想拓展得更宽. 约束条件不一定要是线性约束条件，相应的平面区域也可以为直线、圆、曲线等构成的复合形态.
例如：实数x，y满足x2+y2=1，则x+y的最大值是__________.
此题可行区域可认为是圆，可视为曲线圆与直线x+y=m有公共点. 由此看来，约束条件的给出有了更大的空间，线性规划这个知识点也更容易渗透到其他数学知识点中. 例3 若a>0，b>0且+=1，则a+2b的最小值为__________.
分析：题目涉及两个变量的等量关系，可以考虑减元处理，已由代数式整理得a=-b++1，结合基本不等式解决a+2b的最小值;也可以考虑其几何意义，视作以b为自变量的函数，那么P(b，a)为函数图象上的每一个点.
解决：a=-b++1，令z=a+2b，z表示此直线的纵截距.当直线与曲线相切时z最小，此时a′=-2.求导a′=-1-，所以b=，a=-++1=+，所以a+2b=+.
例4 (江苏14题)已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是__________.
分析：此题和基本问题的相似度极高，已知条件含有3个变量，而且目标函数为比值形式，有明确的几何意义. 由代数式clnb≥a+clnc的逻辑计算知ln≥，由此得到转化的突破口，可转化为两个变元.
解决：已知两个不等式同除c得到5-3≤≤4-，ln≥.记=x，=y，
转化为等价问题：
约束条件为x，y>0，5-3x≤y≤4-x，lny≥x?圳y≥ex，目标函数k==.
作出图形，利用导数求出曲线y=ex过坐标原点的切线为y=ex，发现切点T(1，e)在可行区域内. 综上，直线y=kx过C点时k最大，与曲线y=ex相切于点T时k最小. 所求取值范围为[e，7].
点评：三变量的问题转化为两变量问题，该问题的解决具有一定的代表性.由已知代数式还可以考虑同除a或b进行转化，不是每一个转化都适合，但有些转化又是相通和可行的，因此求解时需要一定的尝试和观察.
有些数学问题并无明显的线性规划痕迹，却也可以转化成线性规划的基本问题，比如解析几何、函数、数列等含有多个变量的数学问题可采用线性规划的方法来求解. 以下试题立足于课本，但高于课本，题目充分体现了命题教师的高瞻远瞩，而反过来又对高中的教学提出更高要求.
例5 (江苏2011年14题)设集合A=(x，y)≤(x-2)2+y2≤m2，x，y∈R，B={(x，y)2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，则实数m的取值范围是__________.
分析：两集合为点集，交集非空.思考难度超越课本，类比线性规划，将其转化为两个平面区域有公共点，同时本题的计算量大.
解决：集合A对应区域为D1，集合B对应区域为D2，D2容易认识为两平行直线确定的带状区域. 由区域D1非空可知m2≥，求得m≤0或m≥.
(1)m=0区域D1收缩为一点，容易判断不满足要求;
(2)m≠0区域D1又分为两种情况，当m0时表示两个同心圆确定的环形区域.不论哪种情况，要满足题意，只需要保证圆(x-2)2+y2=m2和直线x+y=2m或直线x+y=2m+1其中之一有公共点. 圆心到两直线距离分别为d1和d2，且d1=，d2=. 所以d1≤r=m或d2≤r=m，容易解得m∈1-，2+，综合以上分析，实数m的取值范围是，2+.
点评：问题描述采用了几何语言，解决思路和线性规划有类似之处，同时解析几何背景很强，充分考查了直线和圆的位置关系，而且分析时利用分类讨论细化，处理时又不讨论集中解决，思维跳跃度很大.
例6 已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)=a+ex. 若f(2)
解决：由f(2)
点评：g(x)=ax2+bx-b≥0恒成立分析较难，考虑不等式成立的必要条件攻克了这个难点，根据代数式的依存关系得到约束条件，画出图形，所求面积视为两个三角形面积差.
以上可以看出这些问题和教材中很多知识点综合，都需要学生具备良好的知识迁移能力. 包括高考在内的众多考题都或多或少地含有线性规划知识或思想的若干部分，这样的考题都具备一定的难度，成为命题的热点题型，在考试中层出不穷.
高中数学教学中，“数形结合”的思想方法，是最常见和最行之有效的思想方法. 线性规划是高中数学教学中渗透“数学结合”思想的有效载体，可以和函数、数列、向量、解析几何等知识交汇，形成一些让人耳目一新、具有创意的题目和解法.
因此在教学时，切忌操之过急，作图过程中要肯投入时间，要让学生有体验. 在解决问题时要注重学生知识的建构，建立在理解的基础上传授知识，渗透数学思想，不能变成灌输式的教学. 否则，学生只能解决数学课本上的基本问题，不能完成知识的迁移.
线性规划课件 篇2
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
求z的最大值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中 内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当 时， ，点（0，0）在直线 上．
可知，当l在 的右上方时，直线l上的点 满足 ．
即 ，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点 的直线 ，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于 又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
例1 解下列线性规划问题：求 的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：先作出可行域，见图中 表示的区域，且求得 ．
作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行线 过B点时，可使 达到最小值，当 的平行线 过C点时，可使 达到最大值．
通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
例2 解线性规划问题：求 的最大值，使式中的x、y满足约束条件．
解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．
作出直线 将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使 达到最大值，解方程组 得点B的坐标为（9，2）．
∴
这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为 ，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数 所确定的直线 的斜率 有关．就这个例子而言，当 的斜率为负数时，即 时，若 （直线 的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当 时，点C处使z取得最大值（比如： 时），若 ，可请同学思考．
2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，
［问题］某企业的利润为5万元，的利润为7万元，的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？
［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“19的利润为5万元，19的利润为7万元，19的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．
建立平面直角坐标系，设年的利润为5万元对应的点为 （0，5），年的'利润为 7万元及年的利润为 8万元分别对应点 （1，7）和 （2，8），那么
①若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测20的利润为13万元．
②若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测年的利润为11万元．
③若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10万元．
④若将过 及线段 的中点 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑤若将过 及 的重心 （注： 为3年的年平均利润）的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑥若将过 及 的重心 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10．667万元．
⑦若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为9万元．
⑧若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为11.5万元.
⑨若将过点 且以线段 的斜率 为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线 的方程为； ，这样预测2001年的利润为12万元．
⑩若将过 且以线段 的斜率 与线段 的斜率 的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为12万元．
如此这样，还有其他方案，在此不―一列举．
［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？
（2）第⑦种方案中， 的现实意义是什么？
（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过 的重心 ，找出以 为斜率的直线中与 两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．
（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？
线性规划课件 篇3
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.
简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想．
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．
本课以学生为主体，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。
1.知识与技能：
(1)了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；能根据条件建立线性目标函数；
(2)了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.
2.过程与方法：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归数形结合的数学思想.
3.情感、态度与价值观：
进一步培养学生学习应用数学的意识及思维的创新性.
对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括，使学生更深刻地领会和掌握解题的方法。
2．设 ，式中变量 满足条件 ，求 的最大值和最小值.
那么，能不能用二元一次不等式表示的平面区域来求解呢？怎样求解？
在上述引例中，不等式组是一组对变量 的约束条件，这组约束条件都是关于 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。 是要求最大值或最小值所涉及的变量 的.解析式，叫目标函数。又由于 是 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解 和 分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
例1．设 ，式中 满足条件 ，求 的最大值和最小值.
说明：
1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个。
例2．设 满足约束条件组 ，求 的最大值和最小值.
说明：
1.目标函数中y的系数为负数时，上下平移和y的系数是正数的刚好相反
【变式训练1】在例1的条件下求z＝2x+3y-12的最大值和最小值；
练习目的：会用数形结合思想，将求 的最大值转化为直线 与平面区域有公共点时，在区域内找一个点M，使直线经过点M时在y轴上的截距最小的问题，为节省时间，教师可预先画好平面区域，让学生把精力集中到求最优解的解决方案上。
（五）课时小结:
1．线性规划问题的有关概念；
(1)画线性约束条件所确定的平面区域；
(2)取目标函数z=0,过原点作相应的直线；
(3)平移该直线，观察确定区域内最优解的位置；
(4)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.
线性规划课件 篇4
（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．
（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的.问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程 的解为坐标的点的集合 是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式） 的解为坐标的点的集合 是什么图形呢？
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式 ，这些点却在l的左下方的平面区域．
由此我们猜想，对直线l右上方的任意点 成立；对直线l左下方的任意点 成立，下面我们证明这个事实．
在直线 上任取一点 ，过点P作垂直于y轴的直线 ，在此直线上点P右侧的任意一点 ，都有 ∴
因为点 ，是L上的任意点，所以，对于直线 右上方的任意点 ，
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 的解为坐标的点的集点．
类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 的解为坐标的点的集合 是直线 左下方的平面区域．
2．二元一次不等式 和 表示平面域．
（1）结论：二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧所有点组成的平面区域．
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式 就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
（2）判断方法：由于对在直线 同一侧的所有点 ，把它的坐标 代入 ，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点 ，以 的正负情况便可判断 表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当 时，常把原点作为此特殊点．
解；先画直线 （画线虚线）取原点（0，0），代入 ，
∴ ∴ 原点在不等式 表示的平面区域内，不等式 表示的平面区域如图阴影部分．
分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解：不等式 表示直线 上及右上方的平面区域， 表示直线 上及右上方的平面区域， 上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
1．不等式 表示的区域在 的（ ）．
2．不等式 表示的平面区域是（ ）．
3．不等式组 表示的平面区域是（ ）．
4．直线 右上方的平面区域可用不等式 表示．
5．不等式组 表示的平面区域内的整点坐标是 ．
6．画出 表示的区域．
线性规划课件 篇5
我（们）在此申明所报送作品是我（们）原创构思并制作，不涉及他人的著作权。 作者签名：1.
注：
② 不同参赛项目限报作者人数不同，按报送时作者排序填写获奖证书。
②为保证评审费发票及获奖证书的顺利邮寄，请务必准确填写详细联系人信息。
《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计本节的教学重点是线性规划问题的图解法.数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法,本节教学内容中蕴含了丰富的属性结合素材，具体表现为:(1) 二元一次不等式(组)与为平面内点的坐标的结合. (2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻, 使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
线性规划的实际问题的解决需要数学建模，一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的具体实际内容.对学生来说，上一节课已初步学习利用表格将文字长、数据多的应用问题中的数据进行整理，设未知数，列出线性约束条件；本节课一方面要让学生经历数据整理过程，准确列出约束条件，还要分析数据写出线性目标函数，尝试运用该模型解决实际问题，在多次数学问题解决的全过程中加深对简单线性规划问题数学模型的理解．
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中
3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配
中的应用.
本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.
本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.
1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.
2. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.
3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.
4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.
1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．
2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为画、移、求、答.
3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用.(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)的解集与可行域的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定基础, 使学生从更深层次理解“以形助数”的作用以及具体方法.
4. 在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力.
本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：
（1）将实际问题抽象成线性规划问题；
（2）用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？
（3）数形结合思想的深入理解.
为此教学中教师要千方百计地为学生创设探究情境，并作合理适度的引导，通过学生的积极主动思考，运用由特殊到一般的研究方法，借助于讨论、动手画图等形式进行深入探究.教师的引导是至关重要的，要做到既能给学生启示又能发展学生思维，让学生通过自己的探究获取直接经验.
教学难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.
教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与直线方程的关系
新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.
本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.
（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；
（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.
（3）在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；
（4）让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．
组织学生做选盒子的游戏活动.
在下图的方格中,每列(x)与每行(y)的交汇处都放有一个盒子,每次你只能选其中的一个
线性规划课件 篇6
最新简单的线性规划教学设计范文
教学目标
（1）使了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的，渗透集合、化归、数形结合的思想，提高学生“建模”和解决实际问题的；
（5）结合教学内容，培养学生数学的和“用数学”的意识，激励学生勇于创新。
教学建议
一、结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域。再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法—图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用。
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域。
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域。首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念。明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）。其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线。
（2）二元一次不等式组表示平面区域。在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分。这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模解决实际问题的基础。
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答。
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模。所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键。
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：
①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；
②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；
③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移。针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题。另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法。
三、教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的`区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论。
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的。
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的。
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：
①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；
②思考题主要供学有余力的学生课后完成；
③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的。
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找。
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可。
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小。
线性规划课件 篇7
划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法，它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务;二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。
线性规划是运筹学规划论的一个分支。它发展较早，理论上比较成熟，应用较广。20世纪30年代，线性规划从运输问题的研究开始，在二次大战中得到发展。现在已广泛地应用于国民经济的综合平衡、生产力的合理布局、最优计划与合理调度等问题，并取得了比较显著的经济效益。线性规划的广泛应用，除了它本身具有实用的特点之外，还由于线性规划模型的结构简单，比较容易被一般未具备高深数学基础，但熟悉业务的经营管理人员所掌握。它的解题方法，简单的可用手算，复杂的可借助于电子计算机的专用软件包，输入数据就能算出结果。
线性规划的研究与应用工作，我国开始于20世纪50年代初期，中国科学院数学所筹建了运筹室，最早应用在物资调运筹方面，在实践中取得了成果，在理论上提出了论证。目前，国内高等学校已将其列为运筹学中必选的课程内容之一，在实际应用方面也已列入重点企业试点和研究项目之一。
企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型，
线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。
根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。
(1)变量 变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xl，X2，X3，Xmn等。
(2)目标函数 将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。
(3)约束条件 约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。
约束条件的数学表示形式为三种，即≥、=、≤。线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：
(1) 投资问题—确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。
(2) 计划安排问题—确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。
(3) 任务分配问题—分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。
(4) 下料问题—如何下料，使得边角料损失最小。
(5) 运输问题—在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。
(6) 库存问题—如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。
应用线性规划建立数学模型的三步骤：
(1) 明确问题，确定问题，列出约束条件。
(2) 收集资料，建立模型。
(3) 模型求解(最优解)，进行优化后分析。
其中，线性规划最困难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标，在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。
线性规划课件 篇8
（1）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（2）了解线性规化问题的图解法；
（3）培养学生搜集、分析和整理信息的能力，在活动中学会沟通与合作，培养探索研究的能力和所学知识解决实际问题的能力；
（4）引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．
学以致用，培养学生“用数学”的意识是本节的重要目的'。学习线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决一些生产、生活中问题，因而本节的教学重点是：线性规划在实际生活中的应用。困难大多是如何把实际问题转化为数学问题（既数学建模），所以把一些生产、生活中的实际问题转化为线性规划问题，就是本节课的教学难点。突破这个难点的关键就在于尽快熟悉生活，了解实际情况，并与所学知识紧密结合起来。
（l）建议可适当采用电脑多媒体和投影仪等先进手段来辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率．
（2）课堂上可以设计几个实际让学生分组研讨解答，一方面是复习线性规划问题的一般解法，为总结线性规划问题的数学模型和常见类型作铺垫；另一方面，也为接下来到外面分组调研积累经验，让学生在讨论、探究过程中初步学会沟通与合作，共同完成活动任务．
（3）确定研究课题，建议各小组以三个常见问题为主，或者根据本小组实际自拟课题．
（4）活动安排，建议要求各小组分式明确，团结协作，听从指挥，注意安全．学生研究活动的成果，可以用研究报告或论文的形式体现．一切以学生自己的自主探究活动为主，教师不能越俎代庖．
（5）对学生在课余时间开展的研究性课题，建议作做好成果展示、评估和交流．展示不仅可以让全体学生来分享成果，享受成功的喜悦，而且还可以锻炼学生的组织表达能力，增强学生的自信心．通过评估，可以使同学清楚地看到自己的优点与不足．通过交流研讨，分享成果，进行思维碰撞，使认识和情感得到提升．
教学设计方案（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（3）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（4）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点。
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点。
我们已研究过以二元一次不等式组为约束条件的二元线性目标函数的线性规划问题。那么是否有多个两个变量的线性规划问题呢？又什么样的问题不用线性规划知识来解决呢？
线性规划课件 篇9
1、作用：本节课是在学生学习了不等式和直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单的应用，是本节内容的重点，在教材中起承上启下的作用，对本课时的掌握直接影响着线性规划问题中可行域的应用。
2、课程价值：对于提高学生的数学素质, 发展分析问题、解决问题的能力, 培养学生用相互联系, 相互转化的辨证唯物主义观点分析事物大有益处. 3、教学目标：
（1）知识目标：使学生理解并会画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域。（2）能力目标：通过二元一次不等式平面区域确定方法的教学，使 学生逐步领悟数形结合，化归、集合的数学思想，培养学生识图、画图的观察能力和联想能力，感悟探索问题的方法。
（3）情感目标：通过本节的学习，向学生渗透数形结合的思想，深化对知识的理解和掌握，体验发现的快乐，增强创新意识，培养学生应用数学的意识。
4、教学重、难点：
（2）教学难点：如何判断出二元一次不等式表示的具体的平面区域 ，解决难点的关键是运用合理的教学方法，引导学生观察、比较、分析、总结， 发现规律。 （二）教学方法和手段：
充分发挥我校多媒体教学的资源优势，利用计算机作为辅助工具，更清楚地展示区域问题，有利于发现区域问题的异同点，呈现教学内容，将信息技术和数学课程有机地整和起来，有利于突出重点，突破难点，有利于教学目标的实现。 （三）学法指导：
1、学生情况：知识方面，这节课的内容是全新的，需要从简单入手，逐渐深入，渐近式展开；心理方面，对数学普遍有负担，因此要激发学生学习数学的兴趣；生理方面，高二的学生已经具备了独立思考的能力，观察分析能力也有所提高，可以适应对本节知识的深化。
2、学法指导：引导学生体验学习的过程，从而促进其学习方式的转变，使学生的学习过程变成在教师指导下的“再创造过程”，使学生从具体操作中掌握知识，在愉悦的气氛中自主探索发现，潜移默化地形成自己的一种“独立思考、积极探索”的学习方式，达到课程整合的'终极目的。
（五）教学设计.
线性规划课件 篇10
摘 要：线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，线性规划是直线方程的一个简单应用，它与解析几何、向量、不等式、概率可交汇进行综合命题。
纵观近些年的高考题，细细品味发现：重视在“知识的交汇处命题”是高考数学命题的一大特点，因为知识的交汇处既体现了知识的内在联系，又能更好考查学生的数学综合能力。本人结合自己的教学体会和江西省各地模拟试题及全国各省高考题，对其中的线性规划题作一简单归纳。
例1：(江西省南昌市届高三第三次联考)已知x，y满足不等式组 ，则 的最小值为( )
A. B. 2 C. 3 D.
分析与简解：
欲求最小值的式子可化为 ，即表示区域内动点(x，y)与定点(-1，1)的距离的平方，故画出线性约束条件下不等式组所表示的平面区域，如上图，易知问题可转化为求点(-1，1)到直线y=x的距离的平方，易算得2，故选B。
归纳：线性规划能很好地把数与形结合起来，故它与解析几何交汇很自然，此类题首先要准确画出不等式组表示的平面区域，即完成由数到形的转化，然后根据式子的几何意义，直观观察求得相关结论。
(1)(江西省吉安市20高三期末联考卷)若点P在区域 内，则点P到直线 距离的最大值为______
(2)(江西省上饶市重点中学2011届高三联考)设 ，若实数x，y满足条件 ，则 的最大值是_______。
(3)(江西省2011届高三九校联考)设x，y满足约束条件 ，则 的取值范围是( )
A. B.
例2：(江西省八所重点中学2011年高三联考)已知函数f(x)的定义域为 ，且f(6)=2，f/(x)为f(x)的导函数，f/(x)的图象如上图所示，若正数a，b满足f(2a+b)
A. B.
C. D.
分析与简解：
由导函数图象知， ，f(x)递增，故由f 可知： ，作出可行域△ABO内部，如上图所示，易知 表示区域内点(a，b)与定点P(2，-3)连线的斜率，易求得 ，故选A。
例3：(江西省新余一中2011届高三六模)已知函数 的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则 取值范围是__________.
分析与简解：
依题意函数的三个零点即方程 的三根，且 ，故方程可等价为 有两不等根，一根在(0，1)上，另一根在(1，+∞)上，即 ，作出可行域，易求得直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点A为(-2，1)，故可求得 ，故 的范围应为 .
例4：(江西赣州市2011年高三摸底考试)在平面xOy内，向图形 内投点，则点落在由不等式组 所确定的平面区域的概率为________.
分析与简解：
记事件A为点落在由不等组确定的区域内，作出该区域，如上图所示，易求得其面积为 ，另外试验的全部结果所构成的区域面积应为圆 的面积，应求得为4π，故 .
(1)(江西省九江市2011届高三七校联考)已知点P(x，y)在约束条件 所围成的平面区域上，则点P(x，y)满足不等式 的概率是________.
(2)(江西省吉安市2011届高三一模)已知函数 ，实数a，b满足 ，则函数 在[1，2]上为减函数的概率是( )
例5：(2011福建理科)已知O是坐标原点，点A(—1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则 的取值范围是( )
A.[-1，0] B.[0，1]
C.[0，2] D.[-1，2]
分析与简解：
准确做出不等式组所表示的平面区域，如上图所示阴影区域：
由 表示 在 方向上的投影与 的模的积，观察易得点M分别在点B，D处使 取得最小值0，最大值2，故选C.
在2011年高考及各地模拟卷中，向量与线性规划交汇的题还有：
(1)(2011广东理)已知平面直角坐标系xOy上的区域D，由不等式组 给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为 ，则 的最大值为( )
A.3 B.4 C. D.
(2)(江西省重点中学协作体2011届高三第二次联考)已知点P(x，y)满足条件 ，点A(2，1)，则 的最大值为( )
参考答案：(1)4 (2)5 (3)D(1) (2)B(1)B (2)D