2012中考数学热点知识归纳 48

二次函数

江苏省赣榆县沙河中学张庆华

【课标要求】

考点	课标要求	知识与技能目标
考点	课标要求	了解	理解	掌握	灵活应用
二次函数	理解二次函数的意义		∨
	会用描点法画出二次函数的图像			∨
	会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴			∨
	通过对实际问题的分析确定二次函数表达式		∨	∨
	理解二次函数与一元二次方程的关系		∨
	会根据抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)的图像来确定a、b、c的符号			∨	∨

【知识梳理】

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

5.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

6.抛物线中，的作用

（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

7.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

12.直线与抛物线的交点

（1）轴与抛物线得交点为(0, ).

（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

（3）抛物线与轴的交点

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.

（4）平行于轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

【能力训练】

1．二次函数y=－x²＋6x－5，当时，，且随的增大而减小。

2.抛物线的顶点坐标在第三象限，则的值为（）

A． B． C． D．．

3．抛物线y=x²－2x＋3的对称轴是直线（）

A．x =2 B．x =－2 C．x =－1 D．x =1

4．二次函数y=x²+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（）

A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5

5．抛物线y=x²－x的顶点坐标是（）

6．二次函数的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是（）

A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0

C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0

7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t－4．9 t²(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）

A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s

8．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）²＋l，则抛物线的顶点坐标是（）

A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）

9．若二次函数y=x²－x与y=－x²+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（）

A．这两个函数图象有相同的对称轴

B．这两个函数图象的开口方向相反

C．方程－x²+k=0没有实数根

D．二次函数y=－x²＋k的最大值为

10．抛物线y=x² +2x－3与x轴的交点的个数有（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

11．抛物线y=（x—l）² +2的对称轴是（）

A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2

12．已知二次函数的图象如图所示，则在“① a＜0，②b＞0，③c＜ 0，④b²－4ac＞0”中，正确的判断是（）

A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④

13．已知二次函数(a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（）

A．l个 B．2个 C．3个 D．4个

14．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）

　　A．最大值1 B．最小值－3 C．最大值－3 D．最小值1

　　15．用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）

　　A．506 B．380 C．274 D．182

　　16．将二次函数y=x²－4x+ 6化为 y=(x—h)²+k的形式：y=___________

　　17．把二次函数y=x²－4x+5化成y=(x—h)²+k的形式：y=___________

　　18．若二次函数y=x²－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=__

_________________（只要求写一个）．

　　19．抛物线y=(x－1)²+3的顶点坐标是____________．

　　20．二次函数y=x²－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.

　　21. 已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，

（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。

（2）若点（x₀,y₀）在抛物线上，且0≤x₀≤4,试写出y₀的取值范围。

　　22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数y=162－3x；

（1）写出商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式；

（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？

23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．

　　根据图像提供的信息，解答下列问题：

　（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

　（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

　（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

　　24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，

　　（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

　　（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？