乘法公式
──平方差公式
湖北省襄樊市襄阳区城关一中 朱小平 湖北省襄樊市襄阳区教研室 赵素芬 湖北省襄樊市教学研究室 吴明龙
一、内容和内容解析
【内容】 八年级上册第15章第2节第一课时乘法公式──平方差公式
【内容解析】“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”的第一个公式，让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的推导过程，学生从已有的认知出发，在一组多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘，运算结果特别简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用：既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便,又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；从公式的探究推导活动中，让学生学会从“特殊”到“一般”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础．要想熟练而正确的应用公式解决问题，学生必须对公式结构特征进行剖析，在剖析中加深了对公式特征和表达形式的理解与掌握，又为学生学习掌握其他数学公式提供了学习的模板．因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具备核心的地位．让学生体会研究“公式问题”的“基本套路”：从一般问题（整式乘法）中发现特殊情况（平方差），举三反一，再考察特殊情况存在的共性及合理性，进而归纳出特殊情况的一般特征，归纳得到公式并用文字、符号表示；能够辨析公式，明确其结构特征，在实践中加以应用，举一反三，体会它存在的必要性和便捷性．同时为学生感悟和体验数学思想与方法（归纳、转化、数形结合）也搭建了一个不可多得的平台．
基于上述分析，确定本节的教学重点是；
理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算．
二、目标和目标解析
【目标】 1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．
2、经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳、概括的能力．
3、在探索平方差公式的过程和在解决问题过程中学会与他人合作交流．在公式的学习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣．
【目标解析】学生经历公式的形成过程：从“特例──一般”用“归纳──猜想──验证──数学符号”表示等过程，进一步发展学生的符号感、培养他们的合情推理和归纳的能力；让学生能理解公式中a 、b 各代表什么，能够分析、运用平方差公式的结构特征解决问题；让学生在经历从具体到抽象，从一般到特殊中，寻找规律，自我归纳，明确解决同类问题的基本套路，积累数学活动的经验，感受“平方差公式”的魅力，提高数学学习的兴趣；
在自主探究、合作交流的过程中体验学习的快乐和幸福，从而能主动地去理解数学、感悟数学的精神．
三、教学问题诊断分析
学生的认知基础有：第一、七年级学生已有用字母表示数的基础．第二、学生已学习了多项式的乘法，但本节课所给特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握（如字母表示负数，多项式等），在平方差公式的灵活运用时常发生多种错误，如：① 符号错误（-5a- 3）（+5a-3）=25a
2-9 ② 系数不平方（2a-1）（2a+1）=2a2-1 ③ 不能运用公式的而运用公式（a+0.5b）（b-0.5 a）=a2-0.25b2，其原因就是只了解公式（a+b）（a-b）=a2-b2的表面形式，而未真正掌握平方差公式的本质特征．
鉴于此，本节的教学难点是：
理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式．
四、教学支持条件分析
利用多媒体展示教学的部分环节，如创设情景、公式的几何意义等，从而支持课堂教学，突出重点，突破难点．
五、教学过程设计
（一）创设情境，快乐起航
从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道:“好吧”．回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗？学习了本节课的知识，你将能轻松地解决．
[设计意图]从生活中的实例引入，一是激发学生求知兴趣；二是为说明平方差公式的几何意义做好铺垫．
（二）自主探索，获取新知
问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题．再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？（小组讨论）
（1）（a+b）(m+n)=am+an+bm+bn (4)（a+5）（a-5）
(2)(x+3)(y+4)=xy+4x+3y+12 （5）(p+q) (p-q)
(3)(y+3)(y-2)=y2+y-6 （6）（2x+1）（2x-1）
问题2：通过这些题目的计算，你发现了什么？
（视学生活动情况，可预设以下两个追问）
（追问
1）：（4）（5）（6）题在形式和结果上与其它各题有什么区别？
（追问2）：观察、分析（4）（5）（6）左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？（小组讨论）
（4）（a+5）（a-5） = a2-5a+5a -52 = a2- 52
（5）(p+q) (p-q) = p2-pq+pq-q2 = p2 - q2
（6）（2x+1）（2x-1）=（2x）2－2x+2x-12 = （2x）2-12
发现：【左边】 两个数的和与这两个数的差的积 【右边】这两个数的平方差
猜想：（a+b）（a-b）=?
[设计意图] 在教学中以一组相关联但又有区别的题目为载体，学生通过计算，观察每个算式的特点、结果的特点，挖掘题目间的共性，发现规律，举三反一，猜想公式，让学生经历从一般到特殊，从具体到抽象的过程，体会归纳这一数学思想方法．
问题3：你能通过计算（a+b）（a-b），说明猜想的合理性吗？
（a+b）（a-b）=a2-ab+ ab-b2 =a2-b2
归纳平方差公式：（a+b）（a-b）= a2-b2，即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．
[设计意图]通过多项式的乘法法则践行猜想，让感知得到到理性的检验，体现数学学科思维的严谨，让合情推理与演绎推理完美并进，进而准确的用数学语言表述公式．
（三）剖析公式，揭示本质
问题4：你能揭示公式的结构特征吗？（学生先自主辨析，再交流互补，不但完善）
左边 右边
结构特征 （a+b）（a-b） = a2 - b2
相同项 相反项 相同项2 - 相反项2
[a与a] [b与-b]
[设计意图]揭示公式的结构特征，是学生理解公式、进而灵活运用公式解决问题的前提条件．让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰，既体现了学生学习的主动性，又为学生学习公式进行了学法指导,可谓“一箭双雕”．
（四）数形结合，几何说理
问题5：现在，你知道张老汉是否吃亏了吗？吃亏了多少？
追问：如果将张老汉所租的正方形土地的一边减少b米，相邻另一边增加b米， 现在的土地面积是多少？原来的土地面积是多少？两者相比，发生了怎样的变化？请你将图（1）重新拼图，验证结论的正确性．它说明了什么公式？
[设计意图]使学生直观地经历变化的过程，从数形结合的角度加深对公式的理解．
（五）巩固运用，内化新知
开心一试 真我巧变
1.你能用□和○分别代表a和b来表示平方差公式吗？
(□+○)(□－○) =□2－○2
2.请你根据等式在□和○里填数或式
如（ 2a +⑤）（2a －⑤）=2a2-⑤2
教师可根据学生的回答，补充多项式的形式．
小结：其中□（即a）和○（即b）可以表示数，单项式或多项式．
[设计意图] 这道开放题的设计，以剖析a、b的广泛含义为目的，对于认清公式的结构特征起到事半功倍的作用，在后面公式的运用中相信学生会更加得心应手．
锋芒毕露 模拟演练
3．填一填
[设计意图] 设计此题旨在将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，举一反三，加深对字母含义广泛性的理解．
你挑我选 慧眼识珠
4．判断对错，如果有错，如何改正？（大组竞赛）
(1)（x-2）（x+2）=x2-2 （ ） (2)（2a+5）（2a-5）=2a2-25 （ ）
(3)（-1+3m）（1+3m）=1-9m2 （ ） (4)（a+b）（b-a）=a2-b2 （ ）
(5)（1/3-4xy）(1/3+4xy)=1/9-16x2y2（ ） (6)（4x+3b）（4x-3b）=16x2-9（ ）
[设计意图] 对学生常出现的错误，进行预设，防微杜渐．
例 题：计算
（1）102
98 （2）（y+2）（y-2）－（y-1）（y+5）
大显身手 巧用善用
5．计算
(1)5149 (2)（3x+4）（3x－4）－（x+3）（x－2）
[设计意图] 通过转化，利用公式计算，体会平方差公式的便捷．
争我风采 易如反掌
6.变式练习
(1)填空： ① (-m+___)(n+____)=n2-m2
② 写出与（-a+b）相乘能用平方差公式的因式___________________．
③(5a+b+3c)(5a+b-3c)=A2-B2,则A=_______B=______.
(2)计算: (x+y)(x-y)(x2+y2),并根据此题自编一道类似的题，同桌交换做一做．
（3）20082-20092007
[设计意图] 通过变式训练，让学生学会逆向思维和发散思维，从而加强学生对公式结构特征的理解，连续使用平方差公式是对公式应用的拓展与提高．
（六）小结梳理，布置作业
1.小结
（1）本节课你学到了什么数学知识？
（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）平方差公式的结构特征是什么？
左边：两个因式中一定有相同项和相反项
右边：相同项的平方减去相反项的平方．
（3）本节课你感悟到哪些数学思想方法？（转化、数形结合）
2.作业
（1）课内作业
①、P156 T1
②、先化简，再求值 x(x+2)-(x+1)(x-1),其中x=1/2
（2）课外探究
从边长为a的大正方形纸板中，挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形，再拼成一个平行四边形．如图所示，那么通过计算平行四边形的面积，可以验证公式
________． 
[设计意图]数形结合，从几何意义上理解代数公式，多方位的去理解新知、运用新知，加深学生对平方差公式的理解．
六、目标检测设计
（一）选择题
1、下列各式计算中，结果正确的是（ ）
A、（x-3）（x+3）=x2-6 B、（x+5）（3x-5）=3x2-25
C、（-x-y）（x+y）=x2-y2 D、（2ab-c）（c+2ab）=4a2b2-c
2
2、下列各式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
（1）（2a-3b）（3b-2a） （2）（-2a+3b）（-2a-3b）
（3）（2a+3b）（-2a-3b） （4）（2a+3b+c）（2a+3b-c）
A
、1个 B、2个 C、3个 D、4个
(二)计算
（1）（-3x+2）（-3x-2） （2）（4x-3）（4x+3）-（x-2）(2-x)
（三）填一填
（1）（-x+__）(___-2y)= x2-4y2 （2）(-6m+___)(2n+___)=4n2-36m2
（四）小强去商店买了9.8千克的食品，每千克10.2元，售货员正准备拿计算器计算，小强却一口说出了答案，你能像小强那样快速算出答案吗？
[设计意图]设计不同形式的问题，考察学生对平方差公式的理解与应用．对学生的学习效果进行检测，给学生自我评价的机会，对“教”与“学”及时反馈．师生一起查漏补缺，扬长避短，自我完善．
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