2012高考数学第二轮复习：解析几何中求参数取值范围的方法

　　解析几何中求参数取值范围的方法

　　近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢?本文介绍几种常见的方法：

　　一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

　　曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x，y)满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法。

　　例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0)， A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 ， 0)

　　求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.

　　解: 设A，B坐标分别为(x1，y1) ，(x2，y2)，(x1≠x2)代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1

　　又∵线段AB的垂直平分线方程为

　　y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

　　令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2

　　又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

　　∴-a≤x1≤a， -a≤x2≤a， x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

　　∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.

　　分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题。

　　解: 依题意有

　　∴tanθ=2S

　　∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

　　又∵0≤θ≤π

　　∴π4 <θ< p>

　　例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是

　　A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>

　　分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.

　　解: 设Q( y024 ，y0) 由|PQ| ≥a

　　得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

　　∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

　　又∵ y02≥0

　　而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )

　　二、利用判别式构造不等式

　　在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解。

　　例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是

　　A [-12 ，12 ] B [-2，2] C [-1，1] D [-4，4]

　　分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0

　　解:依题意知Q坐标为(-2，0) ， 则直线L的方程为y = k(x+2)

　　由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

　　∵直线L与抛物线有公共点

　　∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)

　　例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围。

　　分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式。

　　解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0

　　∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则　　解得 -2<-2< p>

　　四、利用三角函数的有界性构造不等式

　　曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

　　例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围。

　　分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程，得到实数a与参数θ的关系，再利用三角函数的有界性确定a的取值情况。

　　解：设椭圆的参数方程为 (θ为参数)

　　代入x2=2y 得

　　4cos2θ= 2(a+sinθ)

　　∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178

　　又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

　　例9 已知圆C：x2 +(y-1)2= 1上的点P(m，n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围

　　分析:把圆方程变为参数方程，利用三角函数的有界性，确定m+n的取值情况，再确定c的取值范围。

　　解：∵点P在圆上，∴m = cosβ，n = 1+sinβ(β为参数)

　　∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1

　　∴m+n最小值为1-2 ，

　　∴-(m+n)最大值为2 -1

　　又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立

　　∴c≥2 -1

　　五、利用离心率构造不等式

　　我们知道，椭圆离心率e∈(0，1)，抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解。

　　例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点，L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.

　　分析:由于椭圆中心不在原点，故先设椭圆中心，再找出椭圆中各量的关系，再利用椭圆离心率0<1，建立相关不等式关系求解.

　　解：依题意得F的坐标为(2，0)，L:x = 32

　　设椭圆中心为(m，0)，则 m-2 =c和 m-32 = a2c

　　两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2

　　∵0<1，∴0<1，解得m>2，

　　又∵当椭圆中心(m，0)在直线y=kx+3上，

　　∴0 = km+3 ，即m = - 3k ，

　　∴- 3k >2，解得-32 <0< p>

　　上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。