南京信息工程大学2019考研大纲：702数学分析

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　　南京信息工程大学2019考研大纲：702数学分析

　　科目代码：702

　　科目名称：数学分析

　　第一部分 大纲内容

　　一、实数集与函数

　　1 实数集及其性质 2 确界定义与确界原理 3 函数概念 4有某些特性的函数(有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数)

　　二、数列极限

　　1 数列极限概念 2 收敛数列的性质(唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算) 3 数列极限存在的条件：包括单调有界定理与柯西(Cauchy)准则

　　三、函数极限

　　1 函数极限概念 2 函数极限的性质(唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算) 3 函数极限存在的条件：包括归结原则(Heine 定理)，单调有界定理与柯西准则 4 两个重要极限 5 无穷小量，无穷大量, 非正常极限，阶的比较，曲线的渐近线

　　四、函数的连续性

　　1 连续性概念，间断点及其分类 2 连续函数的性质(有界性、保号性、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性;闭区间上连续函数的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性)3 实数集完备性的基本定理的应用 4 初等函数的连续性

　　五、导数与微分

　　1 导数的概念 2 求导法则 3 微分概念 4 高阶导数与高阶微分 5参量方程所确定的函数的导数

　　六、微分中值定理及其应用

　　1 中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理) 2 不定式极限 3 泰勒公式(及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、应用于近似计算) 4 函数的单调性、极值、最大值与最小值 5 函数的凸性与拐点 6 函数图象的讨论

　　七 不定积分

　　1原函数与不定积分概念，基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法 3 有理函数和可化为有理函数的积分

　　八、定积分

　　1定积分的概念及其几何意义 2 可积条件的应用(包括必要条件，可积准则)，三类可积函数 3 定积分的性质(线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理) 4 微积分学基本定理，定积分的分部积分法与换元法

　　九、反常积分

　　1无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛与条件收敛 2无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法及p-函数判别法，狄利克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法 3无界函数反常积分概念，无界函数反常积分比较判别法及p-函数判别法

　　十、定积分的应用

　　1 平面图形的面积 2 由截面面积求体积、旋转体的体积 3 曲线的弧长与曲率 4 旋转曲面的面积

　　十一、数项级数

　　1 级数收敛的概念，柯西收敛准则，收敛级数的性质 2 正项级数收敛判别法(比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法) 3 一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法，阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法，绝对收敛级数的性质

　　十二、函数列与函数项级数

　　1 函数列与函数项级数的一致收敛性，柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法，狄利克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法 2 函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性、可微性

　　十三、幂级数

　　1 幂函数的收敛性，阿贝尔定理，收敛半径与收敛域，内闭一致收敛性，和函数的分析性质 2 函数的幂级数展开

　　十四、傅里叶级数

　　1 傅里叶级数的概念，三角函数系的正交性 2 以2L为周期的函数的展开式，奇式与偶式展开 3 收敛定理的证明

　　十五、多元函数的极限与连续

　　1 平面点集与多元函数 2 二元函数的极限，重极限与累次极限 3 二元函数的连续性，有界闭域(集)上连续函数的性质

　　十六、多元函数的微分学

　　1偏导数与全微分概念，可微性 2 复合函数微分法，高阶导数，高阶微分，混合偏导数与其顺序无关性 3 方向导数与梯度 4 泰勒公式与极值问题

　　十七、隐函数定理及其应用

　　1隐函数的概念，隐函数定理 2隐函数组定理，隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式及其性质 3 几何应用(空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线) 4 条件极值与拉格朗日乘数法

　　十八、含参量积分

　　1 含参量正常积分，连续性、可积性与可微性 2 含参量反常积分的收敛与一致收敛，柯西准则，维尔特拉斯(Weierstrass)判别法，狄利克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法，含参量无穷积分的连续性，可积性与可微性 3 欧拉积分

　　十九、曲线积分

　　1第一型曲线积分的概念，性质和计算公式 2第二型曲线积分的概念，性质和计算公式，两类曲线积分之间的关系

　　二十、重积分

　　1 二重积分概念与性质 2 二重积分的计算(化为累次积分)，二重积分的换元法(极坐标与一般变换) 3. 格林(Green)公式，曲线积分与路线的无关性 3 三重积分的概念与计算，三重积分的换元法(柱坐标、球坐标与一般变换) 4 重积分的应用(体积、曲面面积等)

　　二十一、曲面积分

　　1第一型曲面积分的的概念与计算 2第二型曲面积分的概念与计算，两类曲面积分之间的关系 3高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式

　　第二部分 说明

　　1、基本要求：

　　一元函数微积分学：

　　1. 理解和掌握邻域，有界集，上下确界 函数，复合函数，反函数，有界函数，单调函数，奇函数，偶函数概念。熟练掌握上下确界，复合函数，反函数的 应用。

　　2. 理解和掌握数列极限的定义，数列极限性质的原理及推导。单调有界原理，柯西准则及应用。函数极限的定义。函数极限存在的归结原理 连续性的定义及其证明，间断点及其分类。连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的性质。区间套定理，柯西准则聚点定理，有限覆盖定理原理及证明。闭区间上的连续函数性质的原理及证明及应用。

　　3. 熟练掌握数列极限定义证明，运算求极限。函数极限定义证明，运算求极限。函数极限柯西准则及应用。两个重要极限的计算， 无穷小量，无穷大量概念，无穷小量阶的比较及应用。一致连续性及应用。

　　4. 理解和掌握：导数概念。 导数的四则运算。反函数的导数。复合函数的导数。求导法则与公式。微分概念，微分的运算法则。 高阶导数与高阶微分。 参数方程的一阶及 二阶导数。

　　5. 理解和掌握：不定积分的运算法则， 换元积分，分步积分法，有理函数的积分，三角函数的积分。定积分的定义，可积必要及充分条件，可积函数类。熟练掌握定积分的性质原理，微积分基本定理，换元积分法，分步积分法及应用。掌握非正常积分的定义，性质，熟练掌握非正常积分判别准则。

　　6. 理解和熟练掌握：级数一般判别原则，比较及根式判别方法，积分判别方法原理及使用。交错级数， 绝对收敛，阿贝尔判别法，阿贝尔。狄里克里判别法原理及应用。 函数列的一致收敛性，函数项级数的一致收敛性判别法原理及应用。一致收敛性函数列及函数项级数分析性质原理及应用。熟练掌握： 阿贝尔定理，收敛区间判别方法，幂级数的分析性质，泰勒级数，幂级数的展开原理及应用。

　　7. 熟练掌握： 为周期的傅里叶级数展开，收敛定理证明。 为周期的傅里叶级数展开。 为周期的傅里叶级数，偶函数与奇函数的傅里叶级数。

　　多元函数微积分学：

　　8. 掌握平面点集，函数概念。理解 完备性定理。熟练掌握二元函数的极限的计算，累次极限的计算。熟练掌握 连续性概念，闭域连续性的性质及应用。

　　9. 掌握可微性，全微分，偏导数，可微性条件概念。熟练掌握复合函数的求导法则，复合函数的全微分。理解方向导数与梯度概念。熟练掌握：高阶偏导数， 中值定理和泰勒公式， 极值的充分及必要条件原理及应用。熟练掌握隐函数， 隐函数组的求导原理及应用。

　　10. 掌握二重积分概念，二重积分可积条件。三重积分概念。曲面面积，重心，转动惯量，引力。第一型曲线积分与第一型曲面积分概念。第二型曲线积分概念。

　　11. 熟练掌握 二重积分的计算：累次积分，换元积分，参量积分求导。三重积分累次积分，换元积分的计算。理解和掌握：含参变量非正常积分判别方法，分析性质。欧拉积分概念及性质。熟练掌握第一型曲线积分与第一型曲面积分计算公式，第二型曲线积分计算公式，第二型曲面积分计算公式。格林公式，路径无关定理。高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。

　　2、分值比例：一元函数微积分学占75%，多元函数微积分学占25%。

　　3、题型分布：计算题+证明题。

　　4、其他规定：重点难点集中在一元函数微积分学部分，多元函数积分要理解其物理意义。

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