上海理工大学2019考研大纲：831高等代数

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　　上海理工大学2019考研大纲：831高等代数

　　参考教材及参考书：北京大学数学系前代数小组编，2013：《高等代数》(第四版)，高等教育出版社。

　　课程内容(打*部分内容或章节要求重点掌握)

　　多项式：

　　*整除概念，带余除法理论;

　　最大公因式定义及求法;

　　*多项式互素的概念与性质;

　　*因式分解定理和不可约多项式的性质;

　　*复系数与实系数多项式的因式分解;

　　行列式：

　　*行列式的定义;

　　*行列式性质及按行按列展开法则，并用此计算行列式;

　　Laplace定理;

　　*克拉默法则;

　　*线性方程组：

　　消元法;

　　向量组的线性相关与线性无关性，向量组的极大无关组与秩;

　　矩阵的秩及求法;

　　线性方程组有解判别定理;

　　线性方程组基础解系、通解及解的结构;

　　*矩阵：

　　矩阵线性运算，乘法，转置及运算律;

　　矩阵初等变换，初等矩阵;

　　逆矩阵及其存在条件，求逆矩阵;

　　分块矩阵运算;

　　二次型：

　　*二次型的矩阵表示;

　　矩阵合同

　　*可逆线性变换化二次型为标准形;

　　惯性定理;

　　*正定二次型判定;

　　线性空间

　　线性空间的定义与性质;

　　*有限维线性空间的基与维数，向量坐标;

　　*基变换与坐标变换;

　　*子空间定义，维数与基、维数公式;

　　*子空间的交与和，直和;

　　线性空间的同构;

　　*线性变换

　　线性变换的运算，线性变换的矩阵

　　特征值与特征向量;

　　可对角化问题;

　　线性变换的值域与核;

　　不变子空间;

　　若尔当标准形的概念;

　　*不变因子、行列式因子、初等因子的概念及其关系;

　　*矩阵相似的条件;

　　若尔当标准形理论及求法;

　　欧氏空间

　　内积与欧氏空间定义，度量矩阵;

　　施密特正交化方法求标准正交基;

　　*正交变换，对称变换;

　　*对称矩阵的标准形及用正交线性替换化二次型为标准形;

　　酉空间介绍。

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