2015上海静安区高三一模数学理试题及答案

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静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测
数学（理）试卷
                    （试卷满分150分  考试时间120分钟）             2014.12
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合 ， ，则        .
答案：
考点：集合的描述法
备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。
2．设 ，则           .
答案：
考点：二项式定理
解法：将 代入式子中
备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。
3．不等式 的解集是          .
答案：
考点：分式不等式的解法
备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。
4．如图，在四棱锥 中，已知 底面 ， ，底面 是正方形， 与底面 所成角的大小为 ，则该四棱锥的体积是          .
答案：
考点：锥体体积的求法
备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。
5．已知数列 的通项公式 （其中 ），则该数列的前 项和           .
答案：
考点：数列分组求和，等比数列求和。
备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。
6．已知两个向量 ， 的夹角为30°， ， 为单位向量， , 若 =0，则 =          .
答案：2
考点：向量的数量积：
解法：由于 与 、 、 的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个 。
7．已知 ， (其中 ，则           .
答案：
考点：绝对值方程的解法。
解法：先解出方程 ，之后再解
备考建议：带领学生回忆遇到绝对值的几种处理方法：分段讨论、数形结合、绝对值不等式解法。
同时，不要忘记圈划题目中特殊的范围信息“(其中 ”
8．已知△ 的顶点 、 、 ，则△ 的内角 的大小是          .（结果用反三角函数值表示）
答案：
考点：向量数量积求夹角。
备考建议：回忆向量数量积求夹角公式，以及斜率求夹角公式，并分析它们的缺陷及适用情形。
9．若 、 是一元二次方程 的两根，则 =          .
答案：
考点：韦达定理的应用
注意：方程判别式小于0，但不影响这道题的解答，韦达定理对一元二次方程均适用。
10．已知 、 是方程 的两根， 、 ，则 =          .
答案：
考点：韦达定理，两角和与差的正切公式，任意角的三角比。
注意：由两根的和与积可以判断出 、 都是负角
11．直线 经过点 且点 到直线 的距离等于1，则直线 的方程是          .
答案： 或
考点：点到直线距离公式。
备考建议：此类题型若只解出一条直线时，注意判断斜率不存在的情况。
12．已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是       .
答案：
考点：利用函数性质作图，数形结合。
备考建议：画带有绝对值的函数的图像，注意利用绝对值得对称性，如本题只要画出函数在第一象限的图像，然后利用绝对值的对称性，即可得到函数其他象限的图像。
同时， 也可以数形结合，理解成斜率去求范围。
13．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为 ，则 的取值范围是          .
答案： 。
考点：无穷等比数列各项和。
备考建议：带领学生回忆一下，无穷等比数列需要满足各条件是，其公比分别需要满足的不同范围，以及强调在某些等比数列极限题型中，不要忘记排除 的情况。
14．两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分.
两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有          名高二年级的学生参加比赛.（结果用数值作答）
答案：7或者14
考点：排列组合
解法：通过所有人的总分和为联系来列等式。
设高二年级学生共有 人，高二年级每人获得 分（ ）
于是所有人的总分和为：
由于共有 场比赛，所以所有人的总分和也可表示为
故 ，得 （ ），故
备考建议：此类较新颖的题型，建议学生要仔细审题，抓住题中的关键点作为突破口入手。
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在下列幂函数中，是偶函数且在 上是增函数的是 (     )
A． ；    B．  ；   C． ；       D．
答案：D
考点：幂函数的图像及其性质
备考建议：带领学生回忆考纲中涉及到的几类幂函数的性质及其图像。
16．已知直线 与直线 ，记 . 是两条直线 与直线 平行的(     )
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件 ；
C．充要条件；       D．既不充分也不必要条件
答案：B
考点：行列式判断两直线位置关系
备考建议：带领学生回忆，判断直线位置关系的先后步骤，并指出二元一次方程组的解与直线位置关系之间的联系。
17．已知 为虚数单位，图中复平面内的点 表示复数 ，则表示复数 的点是 (     )
A．      B．      C．      D．
答案：D
考点：复平面，复数的运算
备考建议：学生要理解复数与复平面坐标之间的互相联系与转化。
18．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为(     )
A．1个；    B．4个；        C．7个；   D．8个
答案：C
考点：立体几何，排列组合
解法：分两种情形进行讨论
1.一个点在平面的一侧，而另外三个点在平面的另一侧，故有 种情况。
2.两个点在平面的一侧，而另外两个点在平面的另一侧，故有 种情况。（注意此处为平均分组问题，故要除以2，以以防重复。）
备考建议：遇到此类，直接思考会比较复杂的题型，建议利用分类的思想，简化情况，可能会取得比较好的效果。
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在锐角 中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足 .
（1）求B的大小；
（2）若 ，  的面积 ，求 的值.

考点：正弦定理、余弦定理。
答案：（1）根据正弦定理 ，得 ，所以 ，………（4分）
又由角B为锐角，得 ；…………………………（6分）
（2） ，又 ，所以 ，…………………………（8分）
根据余弦定理 ，得
 ，…………………………（12分）
所以 =16，从而 =4．…………………………（14分）
备考建议：带领学生回忆正弦定理与余弦定理的适用情形（如对边对角同时出现，一般选择使用正弦定理；三边一角同时涉及时，一般选择使用余弦定理，等等），以及正、余弦定理的一些变形形式，特别是出现两边之和的形式 往往和余弦定理的变形式有关。

20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
某地的出租车价格规定:起步费 元，可行3公里，3公里以后按每公里 元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里 元计算（这里 、 、 规定为正的常数，且 ），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
（1）若取 ， ， ，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费 （元）与行车里程 (公里)之间的函数关系式 .
考点：函数关系的建立，分段函数
答案：（1）他应付出租车费26元；……………………………（ 4分）
（2）   
备考建议：遇到应用题，要提醒学生仔细审题，对涉及参量范围及特性的语句要养成圈划习惯。同时，求出函数对应关系时，切记要留意函数的定义域。

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，长方体 中， ， ，点 为面 的对角线 上的动点（不包括端点）. 平面 交 于点 ， 于点 .
（1）设 ，将 长表示为 的函数；
（2）当 最小时，求异面直线 与 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

考点：建立函数关系，异面直线所成角
答案：
（1）在△ 中， ， ；   ………………………（ 2分）
其中 ；   ………………………（ 3分）
在△ 中， ， …………………………（ 4分）
在△ 中， ， ……………………………（ 6分）
（2）当  时， 最小，此时 ．……………………………（8分）
因为在底面 中， ，所以 ，又 ， 为异面直线 与 所成角的平面角，…………………（ 11分）
在△ 中， 为直角， ，所以 ，
异面直线 与 所成角的大小 （或 等）……………（ 14分）
备考建议：此类题型，要注意帮学生理清各线段长度之间的对应关系，并加以表示出来。

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知函数 （其中 ）.
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断 （其中 且 ）的正负号，并说明理由；
（3）若两个函数 与 在闭区间 上恒满足 ，则称函数 与 在闭区间 上是分离的.
试判断 的反函数 与 在闭区间 上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由.

考点：函数奇偶性，函数单调性，恒成立问题。
答案：（1）因为 ，所以函数 的定义域为实数集 ；…………………………（ 1分）
又 ，
所以函数 是奇函数．…………………………（4分）
（2）因为 ，所以 在 上递增，以下给出证明：任取 ，设 ， ，则
= ，所以 ，即 ， ．……………………（ 6分）
又 为奇函数，所以 且 在 上递增．
所以 与 同号， ．
所以，当 时， ．……（ 8分）
（3） ，  …………………………（ 10分）
 在区间 上恒成立，即 ，
或 在区间 上恒成立，…………………………（ 12分）
令
因为 ， ， 在 递增，所以 ，解得 ；
所以， ．…………………………（ 16分）
注意：第三小题中，关于 的解析式的求法，有以下补充：
由 ，结合第一小题中，得到的函数为奇函数的结论
可推得：
于是，两式相减，即可得 ， 
备考建议：带领学生回忆函数奇偶性的一些性质，以及函数单调性的一些等价形式。
同时，回顾一下“恒成立”与“有解”题型中，对问题向最值问题转化的方法。

23．(本题满分16分) 文：本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
 理：本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分3分，第3小题满分7分.
在数列 中，已知 ，前 项和为 ，且 .（其中 ）
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ；
（3）设 ，问是否存在正整数 、 （其中 ），使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 ；否则，说明理由.
考点：数列通向公式，求和公式，数列极限。
答案：（1）因为 ，令 ，得 ，所以 ；（ 2分）
（或者令 ，得 ）
当 时， 
 ， ，推得 ，…………（5分）
又 ， ，所以 当 时也成立，所以 ，（ ）（ 6分）
（2） = ………………………（ 9分）
（3）文理相同：假设存在正整数 、 ，使得 ， 、 成等比数列，则 ， 、 成等差数列，故 ，（**）………………………（ 11分）
由于右边大于 ，则 ，即 ．
考查数列 的单调性，因为 ，所以数列 为单调递减数列．………………………（ 14分）
当 时， ，代入（**）式得 ，解得 ；当 时， （舍）．
综上得：满足条件的正整数组 为 ．………………………（ 16分）
（说明：从不定方程 以具体值代入求解也参照上面步骤给分）
备考建议：对于第一小问，要让学生掌握数列中， 与 之间互相转化的方法与转换方向的选择。
而第三问中，要带领学生感受，数列单调性与函数单调性之间的联系与不同。
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