2015湖南省长郡中学高三月考数学理试题及答案

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长郡中学2015届高三第五次月考
数学（理）试题
    本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数 所对应的点位于复平面内
   A．第一象限      B．第二象限    C．第三象限     D．第四象限
2．已知离散型随机变量X的分布列为
 
 则X的数学期望E（X）=
 A．       B．2  C．       D．3
3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2－3x，则函数g（x）=f（x）－x+3的零点的集合为
   A．{1，3}    B．{-3，-1，1，3}
   C．{2 ，1，3}      D．{－2 ，1，3}
4．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3,0）+f（2,1）+f（1，2）+f（0，3）=
   A．45      B．60      C．120      D．210
5．已知命题p：x A B，则非p是
   A．x不属于A B       B．x不属于A或x不属于B
   C．x不属于A且x不属于B      D．x A B
6．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填人的条件是
   A． 6 ？
   B． 7 ？
   C． 8 ？
   D． 9 ？
7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
   A．       B．      
 C．       D．1

8．已知函数f（x）=ex，g（x）=ln 的图象分别与直线y =m交于A，B两点，则|AB|的最小值为
 A．2      B．2+1n 2  C．e2+   D．2e－ln
9．设函数f（x）= sin（2 ）+cos（2 ） ，且其图象关于直线x=0对称，则
 A．y=f（x）的最小正周期为 ，且在（0， ）上为增函数
 B．y=f（x）的最小正周期为 ，且在（0， ）上为增函数
 C．y=f（x）的最小正周期为 ，且在（0， ）上为减函数
 D．y=f（x）的最小正周期为 ，且在（0， ）上为减函数
10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a 0），给出定义：设 （x）是函数y=f（x）的导数， （x）是 （x）的导数，若方程 （x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）= x3 x2+3x ，则g +g +…+g
   A．2 013      B．2 014      C．2 015      D．2 016
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第11,12 ,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD= ，则tan 的值为             ．
12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 ，（ 为参数），Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ，则圆C截直线l所得的弦长为  
              。
13．不等式 y对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为         ．
（二）必做题（14～16题）
14．已知点A是不等式组 所表示的平面区域内的一个动点，点B（-1，1），O为坐标原点，则 • 的取值范围是                 。
15．如图，已知过椭圆 的左顶点A（-a，0）作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且 =2 ，则椭圆的离心率为              。
16．等边△ABC的边长为2，取各边的三等分点并连线，可以将△ABC分成如图所示的9个全等的小正三角形，记这9个小正三角形的重心分别为G1,G2,G3，…，G9，则|（ ）+（ ）+…+（ ）|=                。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
   某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
  （1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
  （2）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望．

18．（本小题满分12分）
    在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，若 acos C=csin  A．
   （1）求角C的大小；
   （2）若a=3，△ABC的面积为 ，求 • 的值．

19．（本小题满分12分）
   如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,AB= PA=1,AD= ，F是PB中点，E为BC上一点．
 （1）求证：AF⊥平面PBC；   
 （2）当BE为何值时，二面角C－PE－D为45o．
 
20．（本小题满分13分）
   已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2 an（n≥1）．
  （1）求证：数列 是等比数列；
  （2）设数列{ 2nan}的前n项和为Tn，An=  + + +…+ ．试比较An与 的大小．

21．（本小题满分13分）
 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p 0）的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+ y2=1相切于点Q．
 （1）当直线PQ的方程为x-y =0时，求抛物线Cl的方程；
 （2）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求 的最小值．
 

22．（本小题满分13分）
 已知函数f（x）=21nx－x2－ax．
 （1）当a≥3时，讨论函数f（x）在 上的单调性；
 （2）如果x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1 是函数f（x）的导函数，用x1，x2表示a并证明：

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