2015上海黄浦区高三一模数学试题及答案

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黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试
数学试卷(文理合卷)
(2015年1月8日)
一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集 ，集合 ，则            ．
2．函数 的定义域是　　　　　　　．
3．已知直线 ，则直线 与 的夹角的
大小是　　　　　　．
4．若三阶行列式 中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是 ，则 (其中 是虚数单位， )的值是                ．
5．已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线： 的右焦点重合，则抛物线 的方程是　　　   　　．
6．若函数 是定义域为 的偶函数，则函数 的单调递减区间是　     　．
7．已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，角 的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点 ，则 ＝　　　　　．(用数值表示)
8．已知二项式 的展开式中第3项的系数是 ，数列  是公差为 的等差数列，且前 项和为 ，则 ＝　　　　　　．
9．已知某圆锥体的底面半径 ，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 的扇形，则该圆锥体的表面积是　　　　．
10．若从总体中随机抽取的样本为 ，则该总体的标准差的点估计值是        ．
11．已知  ，若 是函数 的零点，则 四个数按从小到大的顺序是　　  　　　(用符号 连接起来)．
12．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为　　　　　　(用数值作答)．
13．已知 ，定义： 表示不小于 的最小整数．如
    . (理科)若 ，则正实数 的取值范围是             ．
                (文科) 若 ，则实数 的取值范围是                ．
14．(理科)已知点 是 的重心，内角 所对的边长分别为 ，且
     ,则角 的大小是        .
(文科) 已知点 是 所在平面上的两个定点，且满足
  　 ,若 ,则正实数 =    　　　    .
二、选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．给定空间中的直线l及平面 ，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的                                                                      [答] (     )．
A．充分非必要条件   B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件
16．已知向量 ，则下列能使 成立的一组向量 是 [答] (     )．
　　　A．    　　　　　B． 　
　　　C．   　　　　　D．
17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是               　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答]  (      )．
　A．4         B． 5        C． 6         D． 7

18．已知  ， ，定义： ， ．给出下列命题：      
(1)对任意 ，都有 ；
(2)若 是复数 的共轭复数，则 恒成立；
(3)若  ，则 ；
(4)(理科)
对任意 ，结论 恒成立，则其中真命题是[答](  　　)．
(文科)对任意 ，结论 恒成立，则其中真命题是[答](    　　)．
   A．(1)(2)(3)(4)     B．(2)(3)(4)　    C．(2)(4)     D．(2)(3)
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题
卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
   在长方体 中， ， 分别是所在棱 的中点，点 是棱 上的动点，联结 ．如图所示．
(1)求异面直线 所成角的大小(用反三角函数值表示)；
(2)(理科)求以 为顶点的三棱锥的体积．
(文科)求以 为顶点的三棱锥的体积．

20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
  已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中，内角 所对边的长分别是 ，若 ，
求 的面积 的值．
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
　　已知函数 ，函数 是函数 的反函数．
(1)求函数 的解析式，并写出定义域 ；
(2)(理科)设 ，若函数 在区间 内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数 在区间 内必有唯一的零点(假设为 )，且 ．
(文科) (2) 设函数 ，试判断函数 在区间 上的单调性，并说明你的理由．
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．
 定义：若各项为正实数的数列 满足 ，则称数列 为“算术平方根递推数列”.
  已知数列 满足 且 点 在二次函数 的图像上.
(1)试判断数列  是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；
(2)记  ，求证：数列 是等比数列，并求出通项公式 ；
(3)从数列 中依据某种顺序自左至右取出其中的项  ，把这些项重新组成一个新数列 ： .(理科)若数列 是首项为 、公比为 的无穷等比数列，且数列 各项的和为 ，求正整数 的值．
(文科) 若数列 是首项为 ，公比为 的无穷等比数列，且数列 各项的和为 ，求正整数 的值．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
   在平面直角坐标系中，已知动点 ，点 点 与点 关于直线 对称，且 .直线 是过点 的任意一条直线．
(1)求动点 所在曲线 的轨迹方程；
(2)设直线 与曲线 交于 两点，且 ，求直线 的方程；
(3)(理科)若直线 与曲线 交于 两点，与线段 交于点 (点 不同于点 )，直线 与直线 交于点 ，求证： 是定值．
(文科) 设直线 与曲线 交于 两点，求以 的长为直径且经过坐标原点 的圆的方程．

黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试
数学试卷(文理合卷)
参考答案和评分标准(2015年1月8日)
说明：
1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
一、填空题
    1． ；                            8． ；
    2． ；             　　　　　　　 9．  ；
    3．   ；                               10．  ；
    4． ；                                 11． ；
    5． ；                           12． ；
    6． ；                           13． (理) ；(文)  ；
    7． 　；                            14．(理) ；(文)  ．
二、选择题：　15．B　　　16．C　　　17．A　　　18．C
三、解答题
19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．
解(1)联结 ，在长方体 中，有 .                        
又 是直角三角形 的一个锐角，
∴ 就是异面直线 所成的角.                                   
由 ，可算得 .                       
∴ ，即异面直线 所成角的大小为 .            
(理) (2)由题意可知，点 到底面 的距离与棱 的长相等．                      
∴ ．                                                      
∵ ，
∴ ．                           　　　      　 　　
(文) (2)由题意可知，点 到底面 的距离与棱 的长相等．                     
∴ ．                                                        
∵ ，
∴ ．                           　　　　　      　

20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．
解(1)∵ ，
     ∴ .                                                    
     由 ，解得 .        
     ∴函数 的单调递增区间是 .                         
(2)∵在 中， ，
  ∴ 解得 .                                     
     又 ，
  ∴ .                                                                     
   依据正弦定理，有 .
∴ .                                                                                                                 
∴ .                              
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1)  ，
 .又 ， .
      .                                                           
     由 ，可解得 .                               
     ， .                                               
(理)证明  (2)由(1)可知， .
   可求得函数 的定义域为 .                                  
   对任意 ，有 ，
   所以，函数 是奇函数.                                                  
   当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，
   于是， 在 上单调递减.                                              
   因此，函数 在 上单调递减.                                         
   依据奇函数的性质，可知，
函数 在 上单调递减，且在 上的图像也是不间断的光滑曲线.      
  又 ,                    
  所以，函数 在区间 上有且仅有唯一零点 ，且 .            
(文) (2) 答：函数 在区间 上单调递减.
理由：由(1)可知， .                     
   可求得函数 的定义域为 .                                  
   对任意 ，有 ，                 
   所以，函数 是奇函数.                                                  
   当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，
   于是， 在 上单调递减.                                              
   因此，函数 在 上单调递减.                                         
  依据奇函数的性质，可知， 函数 在 上单调递减.         
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．
解(1)答：数列 是算术平方根递推数列.
    理由： 在函数 的图像上，
                                                          
 ， .                             
     又 ，
∴ ．                                              
　　∴数列 是算术平方根递推数列.                                        
证明(2)  ，
     .                                                              
    又 ,
     数列 是首项为 ,公比 的等比数列.                             
     .                                                     
(理)(3)由题意可知，无穷等比数列 的首项 ,公比 ，
  ．                                                             
化简，得 ．
     若 ，则 .这是矛盾！
      .                                                                
     又 时， ,
        .                                                       
      .                                           
                                                                  
(文) (3)由题意可知，无穷等比数列 的首项 ,公比 ，
  ．                                                          
化简，得 ．
     若 ，则 .这是矛盾！
      .                                                             
     又 时， ,
        .                                                    
      .                                            
                                                               

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解(1)依据题意，可得点 .                                                   
 ．　　　　　　　　　                         
又 ，
 .                                                          
 所求动点 的轨迹方程为 .                                      
(2)   若直线 轴，则可求得 ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线 不平行于 轴．
                                                                                
　   设直线 的斜率为 ，则 ．                                       
　    由  得 ．                         
　  设点 ，有  且 恒成立(因点 在椭圆内部)．
　　  又 ，
于是， ，即 ，   
解得 ．                          
所以，所求直线 ．                                        　
(理)证明(3) 直线 与线段 交于点 ，且与点 不重合，
 直线 的斜率 满足： ．                                    
　   由(2)可得点 ，                                                     
     可算得 ．                                    
　    又直线 ．                             
　   设点 ，则由 得 (此等式右边为正数).
  ，且 = ．
   ，解得 .                                             
 为定值.                                       
(文)  (3)  当直线 轴时， ，点 到圆心的距离为1.即点 在圆外，不满足题意.
      满足题意的直线 的斜率存在，设为 ，则 .                      
     设点 ，由(2)知， 进一步可求得
                                                                                
     依据题意，有 ，
     ，                                                          
      即 ，解得 .                                     
      所求圆的半径 ，
       圆心为 .                                       
      所求圆的方程为： .                                 
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