2015广东汕头高三期末数学文试题及答案

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2015年汕头市高三文科数学期末试卷
参考公式：锥体体积公式为 ，其中 为锥体的底面积、 为锥体的高；
球的表面积公式为 ，其中 为球的半径；
方差公式为 ．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、集合 ， 的子集中，含有元素 的子集共有（   ）
A． 个               B． 个               C． 个               D． 个
2、复数 的实部与虚部之和为（   ）
A．           B．           C．           D．
3、如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是半径为 的半圆，俯视图是个圆，则该几何体的全面积为（   ）
A．          B．          C．          D．
4、已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最小值是（   ）
A．             B．            C．            D．
5、已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（   ）
A．           B．           C．           D．
6、设 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题中正确的是（   ）
A．若 ， ，则   B．若 ， ，则
C．若 ， ，则       D．若 ， ，则
7、如图，在程序框图中，若输入 ，则输出 的值是（   ）
A．            B．            C．            D．
8、下列说法中，正确的是（   ）
A．命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．命题“ 或 ”为真命题，则命题“ ”和命题“ ”均为真命题
D．已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
9、设函数 ，则下列结论正确的是（   ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C． 的最小正周期为 ，且在 上为增函数
D．把 的图象向右平移 个单位，得到一个偶函数的图象
10、设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 在 上有两个不同的零点，则称 和 在 上是“关联函数”，区间 称为“关联区间”．若 与 在 上是“关联函数”，则 的取值范围为（   ）
A．            B．            C．            D．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
（一）必做题（11～13题）
11、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 名年龄为 岁  岁的男生体重（ ），得到频率分布直方图如右图：
根据右图可得这 名学生中体重在
 的学生人数是          ．
12、已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ，且 的面积为 ，则 边的长为        ．
13、已知函数 （ ， ）的一个零点是 ，则 的最小值为          ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线 的参
数方程为 （参数 ），圆的参数方程为 （参
数 ），则圆心到直线 的距离为         ．
15、（几何证明选讲选做题）如图，在 中， ， ，
 ， ， ，则          ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分12分）已知等差数列 满足 ， ．
 求 的通项公式；
 设 ，求数列 的前 项和 ．

17、（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲组 名同学寒假假期中去图书馆 学习的次数和乙组 名同学寒假假期中去图书馆 学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 表示．
 如果 ，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；
 如果 ，从学习次数大于 的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于 的概率．

18、（本小题满分14分）已知向量 ， ，函数 ．
 若 ，求 ；
 若 ，求 的值；
 若 ，求函数 的值域．

19、（本小题满分14分）如图，已知 平面 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， ．
 求证： 平面 ；
 求证： 平面 ；
 求三棱锥 的体积．

20、（本小题满分14分）设函数 的图象在 处的切线平行于直线
 ．记 的导函数为 ．
 求函数 的解析式；
 记正项数列 的前 项和为 ，且 ， ，求 ；
 对于数列 满足： ， ，当 ， 时，求证：
 ．

21、（本小题满分14分）已知函数 （ ）．
 当 时，求 的极值；
 当 时，讨论 的单调性；
 若 ， ， ，有 ，求实数 的取值范围．

2015年汕头市高三文科数学期末试卷参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B A D C B C A
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
（一）必做题（11～13题）
11、            12、            13、
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14、               15、
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、解： 设等差数列 的公差为 .
由题意知 　　 ……2分（每式1分）
解得：    ……4分（每式1分）
∴  ( )  ……6分
 由题意知,   ( )    ……7分
 
         ……10分
         ……12分
17、解： 当x=6时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是:6，7，8，11 ……  1分
所以平均数为     ……2分
方差为 ……5分
（列式2分，答案1分）
 甲组中学习次数大于7的同学有3名，记为A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数
依次为9,11,12;
乙组中学习次数大于7的同学有2名，记为B1,B2,他们去图书馆学习次数依次
为8,11; …… 6分
从学习次数大于7的学生中选两名学生,所有可能的结果有10个,它们是:  A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2 　　　　……8分　　　　　　　　　　　　　　
用事件C表示:“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20”这一事件,则C中的结果有4个,它们是:A1B2,A2B2,A3B1,A3B2, 　　……10分
故根据古典概型，选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率为   ……12分
18、解：      ……1分
 　　　……2分
  　　　……3分
 　……4分
 　　　    ……5分
因此，    ……6分
     ……7分
                  ……8分
     ……9分
  
      ……10分
   　   ……12分
       ……13分
即 的值域是        ……14分
19、 证明：因为四边形 为矩形
所以 平面 ， 平面
所以 平面      ……3分
 证明：过 作 ，垂足为
因为
所以四边形 为矩形
所以
又因为
所以 ， ，
所以
所以        ……5分
因为  平面 ，
所以  平面
所以      ……7分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面       ……9分
 因为  平面
所以     ……10分
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面      ……12分
 …13分
 …14分
20、 解：∵函数 的导函数为   ……1分
由于在 处的切线平行于
∴
解出：     ……2分
即    ……3分
 解：
 ，得 或 （舍去）  ……4分
 
   ……5分
即有
 　　　　……6分
因为 ，故 　　　……7分
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，  ……8分
 证明:∵
∴ ……9分
即有     …10分
∴   ．．．， 
∴ …11分
　　    ……12分
而当 时,  …13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 
∴ …14分
21、解： 当 时， ……2分
                                            （求导1分、标出定义域1分）
由 ,解得
∴ 在 上是减函数，在 上是增函数. ………………………3分
∴ 的极小值为 ，无极大值.…………4分
    …6分
①当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数
………7分
②当 时， 在 上是减函数………………………8分
③当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数…9分
 当 时，由 可知 在 上是减函数…10分
∴   ………………11分
由 对任意的 恒成立
∴          …………………12分
即 对任意 恒成立
即 对任意 恒成立       ……………13分
由于当 时，
∴   ……………14分
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