2015沈阳高三四校联考数学理试题及答案

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            2014-2015学年度高三四校联考
                          数学试题（理）
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知全集 ， ，则 等于
             
2.设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件   C.充要条件  D. 既不充分又不必要条件
3.函数 的零点所在的区间为(    )
 A.(0，1)      B.(1，2)       C.(2，3)     D.(3，4)
4．设等比数列 的前项和为 ，若 ，则 = 
  A. 2        B.            C.              D. 3
5. 定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，当 时， .则
  A．335           B．338            C．1678          D．2012
6.已知函数 在区间 上是增函数,则常数 的取值范围是
   A.         B.        C.             D.
7．已知函数 ，则不等式 的解集为（    ）
   A .       B .     C.           D.
8. 已知函数 的最小正周期是 ，若其图像向右平移 个单位后得到   的函数为奇函数，则函数 的图像  （    ）
A.关于点 对称 B.关于直线 对称  C.关于点 对称  D.关于直线 对称

9.已知函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，数列 的前 项和为 ，则 的值为
   A.    B.    C.    D. 
10.下列四个图中，函数 的图象可能是(      )
 
11.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ， ， ，则 的大小关系正确的是（　　）
A．   B．  C．  D．  
12.定义域为 的偶函数 满足对 ，有 ，且当 时， ，若函数 在 上至少有三个零点，则 的
取值范围是   (    )
  A.    B.    C.      D.  
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13.设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为6，则 的最小值为______________ __.
14. 函数 对于 总有 ≥0 成立，则 =    　     ．
15.在 中， 为 的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且 .若 ，则 的最小值是____   ____．
16. 对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数  的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，函数 对称中心为　         　．
三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知函数 ．
   （1）求 的最大值，并求出此时 的值；
   （2）写出 的单调区间．

18.（本小题满分12分）已知 的最小正周期为
 .
  （1）求 的值；
  （2）在 中，角 所对应的边分别为 ，若有 ，则求角 的大小以及 的取值范围.

19.（本小题满分12分）数列{ }的前 项和为 ， 是 和 的等差中项，等差数列{ }满足 ， ．
  （1）求数列{ }，{ }的通项公式；
  （2）若 ，求数列 的前 项和 .

20.（本小题满分12分）已知函数 的图象经过点 ，曲线在点 处的切线恰好与直线 垂直．
 （1）求实数 的值；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围．

21.（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列 满足： ,且 是 , 的等差中项.
 （1）求数列 的通项公式；
 （2）若 , ,求 .

22.（本小题满分12分）已知函数 , ,且 点 处取得极值．
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在区间 上有解，求 的取值范围；
（3）证明： ．

            2014-2015学年度上学期期中学业水平监测答案（理）
一.选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A C B B C D B C C A B

二．填空题：
13.     14.   4      15.  2    16.   (1 ,2)

三． 解答题：
17.（10分）
解：（1）  
所以 的最大值为 ，此时 .………………………5分
（2）由 得 ；
所以 单调增区间为： ；
由 得
所以 单调减区间为： 。………………………10分
18.（12分）解                        ……1分
                                          ……2分
                                                  ……3分
 的最小正周期为   ，即：              ……4分
                                            ……5分
                       ……6分
（2） 
∴由正弦定理可得：                   ……7分
   ……8分
                        ……9分
                                ……10分
                           ……11分
                                     ……12分
19.（12分）解:(1) ∵ 
当
 
当 ………………………………………………2分
∴  …………………………………………………………4分
 ………………6分
 
设 的公差为 ，
 ………………………………………………………8分
（2） ……………………………………10分
 ………………12分

20.（12分）解：（1）∵ 的图象经过点M（1，4），∴ ①式………1分
 ，则 …………………………………3分
由条件      ②   ……………………………5分
由①②式解得
（2） ，
令               …………………………8分
   10分             
           ……………………………12分
21.（12分）解：（1）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，
依题意，有2（ ）= + ,代入 , 得 =8,
∴ + =20     ∴ 解之得 或 
    又 单调递增，∴  =2,  =2,∴ =2n                              ┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（2） , ∴         ①
∴ ②∴①-②得 ＝  .......12分                                                                                   
22.（12分）解：（1）∵ ， ∴
∵函数 在点 处取得极值，
∴ ，即当 时 ，
∴ ，则得 .经检验符合题意                     ……2分
（2）∵ ,∴ , ∴ .
  令 ,                              ……4分
则 .
∴当 时， 随 的变化情况表：
 
1 （1,2） 2 （2，3） 3

 
 + 0 - 
 
 ↗ 极大值 ↘ 
计算得： ， ， ，
所以 的取值范围为 。                         …… 8分
（3）证明：令   ，
则  ，            
令 ，则  ，
 函数 在 递增， 在 上的零点最多一个 
又  ， ，
 存在唯一的 使得 ，                         ……10分
且当 时， ；当 时， .
即当 时， ；当 时， .
  在 递减，在 递增，
从而  .                       
由 得 即 ，两边取对数得： ，  ，
  ，
从而证得 .                                      ……12分
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