不等式

　　从初中开始就已经学习了简单的不等式，到高中深入学习，又有了均值不等式，下面是由留学群编辑为大家整理的“高中四个均值不等式推导过程详解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　高中四个均值不等式推导过程详解

　　四个均值不等式

　　1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

　　2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

　　3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

　　4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n

　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

　　均值不等式用数学归纳法的证明

　　第一步：等价变换，分子增加又减去同一项，巧妙处是这一项指数的选取，正好是要证明的右端。

　　第二步：(1)把前面(a1+a2+...+ak)用上面假设n=k成立时较小的右端乘k代替，(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k),两边乘k：

　　a1+a2+...+ak≥k(a1a2...ak)^(1/k),

　　因此≥成立。

　　(2)难点是a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

　　其实也很好证明(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1)，看成是k-1个数，加上a(k+1)，也是k个数。

　　根据上面假设，n=k时，(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k)是成立的，

　　注意!!!a1，a2，...，ak只是正数的代表，不限于什么正数，换成k个数：a(k+1)，和k-1个(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1)，这个不等式也是成立的!代换一下，就成了：

　　a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

　　第三步：

　　前面两项提取k之后成为：

　　(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

　　使用前面一开始证明的n=2时的结果，a1+a2≥2√(a1a2)(当成公式，不是当成数)

　　(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

　　≥2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)

　　=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)

　　=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k(k+1)]]}^(1/2)

　　绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。下面是由留学群编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些 该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　绝对值不等式公式

　　||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;

　　|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);

　　|a|<|b| 可推出|b|>|a|;

　　3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;

　　4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|

　　怎样解绝对值不等式

　　解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号

　　1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;

　　2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

　　一元二次不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。下面是由留学群编辑为大家整理的“一元二次不等式怎么解 解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　解一元二次不等式的一般步骤：

　　1、对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2+bx+c>0(a>0)，ax2+bx+c<0(a>0);

　　2、计算相应的判别式;

　　3、当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根;

　　4、根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。

　　一元二次不等式有哪些解法

　　1、公式法：公式法不能解没有实数根的方程(也就是b²-4ac<0的方程)。求根公式： x=-b±√(b^2-4ac)/2a。

　　2、配方法：首先将方程二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。

　　3、数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的集合，小于零的则相反。口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。”

　　4、一元二次函数图象：通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。

　　拓展阅读：解一元二次不等式应注意的问题

　　1、在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数。

　　2、二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况。

　　3、解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号。

　　4、一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同。

　　分式不等式的知识点在高中数学中经常会遇到。下面是由留学群编辑为大家整理的“分式不等式的解法步骤”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　分式不等式

　　与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0)这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

　　分式不等式解法

　　可以用同解原理去分母，解分式不等式;如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0)，则f(x)g(x)>0,或f(x)g(x)<0。然后因式分解找零点，用穿针引线法。

　　分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0)这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

　　分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解;画数轴在数轴上找出解的位置;判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过。

　　分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式;令分子、分母等于0，并求出解;画数轴在数轴上找出解的位置;判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过。

　　均值不等式是数学中的一个重要公式。也是十分常见的一个考点。下面是由留学群编辑为大家整理的“均值不等式的推导过程有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

　　1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

　　2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

　　3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

　　4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n

　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

　　推导过程

　　关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：

　　(注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。)

　　用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

　　引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。

　　注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)(或用二项展开公式更为简便)。

　　原题等价于：

　　当且仅当

　　很多同学对于分时不等式还处于不是很明白的状态，甚至有些不知道怎么做。以下是由留学群编辑为大家整理的“分式不等式的解法步骤是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　分式不等式的解法

　　(1)令分子、分母等于0，并求出解;

　　(2)画数轴在数轴上找出解的位置;

　　(3)判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过

　　对于第二类解法如下：

　　(1)移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式;

　　(2)令分子、分母等于0，并求出解;

　　(3)画数轴在数轴上找出解的位置;

　　(4)判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过

　　拓展阅读：如何学好数学

　　一、转化方法：

　　转化，既是一种方法，也是一种思维。转化思维，是指在解决问题的过程中遇到障碍时，通过改变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻求最佳方法，使问题变得更简单、更清晰。

　　二、逻辑方法：

　　逻辑是一切思考的基础。逻辑思维，是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的思维过程。逻辑思维，在解决逻辑推理问题时使用广泛。

　　三、逆向方法：

　　逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。

　　四、对应方法：

　　对应思维是在数量关系之间(包括量差、量倍、量率)建立一种直接联系的思维方法。比较常见的是一般对应(如两个量或多个量的和差倍之间的对应关系)和量率对应。

　　五、创新方法：

　　创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，提得出与众不同的解决方案。可分为差异性、探索式、优化式及否定性四种。

　　高中数学不等式解题技巧有哪些呢，同学们清楚吗，不清楚的话，快来小编这里瞧瞧。下面是由留学群小编为大家整理的“高中数学不等式解题技巧”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　高中数学不等式解题技巧

　　1)熟练掌握一元一次不等式(组),一元二次不等式(组)的解法

　　(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法

　　(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法

　　(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法

　　(5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式

　　(6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论

　　不等式的基本性质是什么

　　不等式的基本性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性;乘法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。

　　通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为 中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

　　不等式的基本性质：

　　1、对称性。

　　2、如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)。

　　3、如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。

　　4、如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式，不等号方向不变。

　　5、不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式，不等号方向改变。

　　6、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n。

　　7、如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。

　　8、如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)。

　　不等式的基本性质的另一种表达方式：

　　1、对称性。

　　2、传递性。

　　3、加法单调性，即同向不等式可加性。

　　4、乘法单调性。

　　5、同向正值不等式可乘性。

　　6、正值不等式可乘方。

　　7、正值不等式可开方。

　　8、倒数法则。

　　拓展阅读：高中不等式知识点总结

　　一、 知识点

　　1.不等式性质

　　比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法

　　不等式的基本性质

　　①对称性：a > bb > a

　　②传递性: a > b, b > ca > c

　　③可加性: a > b a + c > b + c

　　④可积性: a > b, c > 0ac > bc;

　　a > b, c < 0ac < bc;

　　⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

　　⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > ...

　　很多同学对于分时不等式还处于不是很明白的状态，甚至有些不知道怎么做，以下是由留学群编辑为大家整理的“分式不等式的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　分式不等式的解法

　　对于第一类解法如下：

　　(1)令分子、分母等于0，并求出解;

　　(2)画数轴在数轴上找出解的位置;

　　(3)判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过

　　对于第二类解法如下：

　　(1)移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式;

　　(2)令分子、分母等于0，并求出解;

　　(3)画数轴在数轴上找出解的位置;

　　(4)判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过

　　拓展阅读：如何学好数学

　　一、数学运算

　　运算是学好数学的基本功。初中阶段是培养数学运算能力的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。初中运算能力不过关，会直接影响高中数学的学习：从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击学生学习数学的信心，从个性品质上说，运算能力差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步发展。从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大部分是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，如71-19=68，(3+3)2=81等，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句“马虎”掩盖了其背后的真正原因。帮助学生认真分析运算出错的具体原因，是提高学生运算能力的有效手段之一。在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点：

　　①情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确;

　　②要自信，争取一次做对;慢一点，想清楚再写;少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。

　　二、数学基础知识

　　理解和记忆数学基础知识是学好数学的前提。

　　什么是理解?

　　按照建构主义的观点，理解就是用自己的话去解释事物的意义，同一个数学概念，在不同学生的头脑中存在的形态是不一样的。所以理解是个体对外部或内部信息进行主动的再加工过程，是一种创造性的“劳动”。

　　理解的标准是“准确”、“简单”和“全面”。“准确”就是要抓住事物的本质;“简单”就是深入浅出、言简意赅;“全面”则是“既见树木，又见森林”，不重不漏。对数学基础知识的理解可以分为两个层面：一是知识的形成过程和表述;二是知识的引申及其蕴涵的数学思想方法和数学思维方法。

　　什么是记忆?

　　一般地说，记忆是个体对其经验的识记、保持和再现，是信息的输入、编码、储存和提取。借助关键词或提示语尝试回忆的方法是一种比较有效的记忆方法，比如，看到“抛物线”三个字，你就会想到：抛物线的定义是什么?标准方程是什么?抛物线有几个方面的性质?关于抛物线有哪些典型的数学问题?不妨先写下所想到的内容，再去查找、对照，这样印象就会更加深刻。另外，在数学学习中，要把记忆和推理紧密结合起来，比如在三角函数一章中，所有的公式都是以三角函数定义和加...